Übungen zur Kreisberechnung [mit Lösungen]

Für dieser Aufgaben solltest du die Grundlagen der Kreisberechnung kennen. Falls du bei diesem Thema noch Nachholbedarf hast, lies dir zuerst meinen Artikel zur Kreisberechnung durch oder schau in deinem Mathebuch nach.

Aufgabe 1

Ein kreisförmiger Swimming-Pool hat den Radius r=4 m. Wie groß muss eine Folie sein, die die Wasseroberfläche verdecken soll? Gib Fläche und Umfang an!

Aufgabe 2

Ein Mathematiker möchte herausfinden, ob die Grundfläche einer Cola-Dose ein Kreis sein kann. Dazu misst er Umfang und Durchmesser. Er misst für den Umfang 19 cm und für den Durchmesser 6 cm. Tipp: berechne hier die Kreiszahl Pi und vergleiche den errechneten Wert mit dem Literaturwert von Pi.

sieh dir die Lösung erst an, wenn du die Aufgaben selbst gerechnet hast.

Lösung zu Aufgabe 1

gegeben:
Radius r=4m
Für den Kreis sind die Formeln
A=πr^2
und
u=2πr
wir berechnen zunächst die Fläche, dafür setzen wir den Radius r in die erste Formel ein
A=π * (4m)^2 = π * 16 m^2 = 50,26 m^2

um jetzt noch den Umfang zu berechnen setzen wir den Radius r in die zweite Formel ein
u=2π * 4m = 25,13 m

Der betrachtete Swimmingpool muss mit einer kreisförmigen Folie der Fläche 50,26 m^2 und dem Umfang 25,13 m abgedeckt werden.

Lösung zu Aufgabe 2

Für einen Kreis gilt
u=2π*r
In dieser Formel ersetzen wir den Radius durch den  halben Durchmesser: d/2 und erhalten damit:
u=2π*(d/2)
Umfang und Durchmesser ist bekannt. Für einen Beweis muss nun Pi mit diesen Werten ausgerechnet werden.Dazu stellen wir die Formel zunächst zu Pi um:
π=u/d (dabei haben ich die beiden Zweien schon gekürzt)
π=19 cm / 6 cm
π= 3,166
Berücksichtigt man kleine Fehler bei den Messungen, so kann man sagen, dass es sich bei den Verwendeten Dose um eine Kreisförmige Grundfläche handelt.

Kreisberechnung

Wenn ihr den Artikel zum ersten Mal lest, dann lasst “Auf Mathematisch” einfach weg. Versucht erst mal den Rest zu verstehen.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den Abstand r zum Mittelpunkt M haben.

Ein Kreis kann mathematisch mit den folgenden Größen beschrieben werden:

- r ->Radius

- d -> Durchmesser

- u -> Umfang

- A -> Fläche

- M -> Mittelpunkt

im Einzelnen erkläre ich die Größen:

- Radius: das ist die rote Strecke im Bild oben. Der Radius ist der Abstand den die schwarze Linie vom Punkt in der Mitte hat. Auf Mathematisch: Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und jedem anderen Punkt des Kreises

- Durchmesser: wenn ihr in Gedanken die rote Linie im Kreis weiterzeichnet, dann bekommt ihr den Durchmesser. Der Durchmesser ist also der doppelte Radius. Auf Mathematisch: d=2*r

- Umfang : Wenn ihr ein Maßband um den Kreis legt, dann erhaltet ihr den Umfang.

- Fläche: Wenn ihr einen Kreis aus Papier ausschneidet, denn habt ihr Papier in Form eines Kreises. Die Fläche kann man sich so vorstellen.

- Mittelpunkt:  Im Bild ist das der blaue Punkt in der Mitte. Der Mittelpunkt hat von allen Punkten des Kreises den selben Abstand (-> Radius)

Um die verschiedenen Größen des Kreises berechnen zu können kommt man auf verschiedene Abhängigkeiten (auf Mathematisch: Proportionalitäten), die wie folgt aufgeschrieben werden:

r ~ A

d ~ A

r ~ u

d ~ u

Die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor.

Durch verschiedene Herleitungen kommt man zur Kreiszahl (hier der Proportionalitätsfaktor) π = 3,14159265…

π findet sich in der Formel für Fläche und Umfang:

$A=\pi \cdot r^2$

$u=2\pi \cdot r=\pi \cdot d$

Beispiel: Ein Kreis mit dem Radius $r = 5 m$

$A = \pi * (5 m) ^2 = \pi * 25 m^2 = 78,539 m^2$

$u = 2 \cdot 5 m \cdot \pi = 31,415 m$

$d = 2\cdot 5m = 10 m$

Fachbegriffe Stadtentwicklung

Genese: Entstehung, Entwicklung einer Stadt

Relief: Oberflächenspezifische Eigenschaften; z.B. Berge, Hügel, Seen, Flüsse

Domburg: räumlich abgegrenzter Bereich für die Geistliche Macht, in dessen Mitte dich der Dom befindet

Immunitätsmauer: umgab die Domburg; innerhalb der Immunitätsmauer galt die Immunität des Klerus

Civitas = Bürgerstadt

Karolingischer Burgwall: Wall, der zu Zeiten Kaiser Karls errichtet wurde

Graben und profunditas: Umgaben die Domburg

Prefectus urbis: lat. Stadtverwalter

Segregation: räumliche und soziale Abgrenzung

Suburbium: frühe Vorstadt

Ghettoisierung: Bildung von Gettos, abgegrenzten Bereichen für einzelne Personengruppen

Rathaus: Indiz für die Selbstverwaltung der Stadt durch die Bürger und Umverteilung der Macht von der Geistlichkeit hin zum Bürger

Zitadelle: besonders  starkes Befestigungswerk von Festungen oder Städten, Sternförmig zur Vergrößerung der Verteidigungslinie; auch: Bastion

Palisaden: befestigter Bretterzaun

Kirchenspielgrenzen:  Grenzen der Pfarreien

Radiales Straßensystem: spinnennetzartig mit Kreisförmigen Straßen sowie ein und Ausfahrtsstraßen; typisches Merkmal einer mitteleuropäisch gewachsenen Stadt

Geplantes Straßensystem: nahezu rechtwinklige und schachbrettartig angeordnete Straßen; typisches Merkmal einer gründerzeitlichen Stadt

Gründerzeit[1]: Gründerzeit, im engeren Sinn Bezeichnung für die Jahre vom Ende des Deutsch-Französischen Kriegs (1871) bis zum Beginn der großen Depression (1873), im weiteren Sinn für die Zeit nach der Reichsgründung (etwa 187090). Der (bereits zeitgenössische) Begriff veranschaulicht die Wachstumseuphorie, die im Zeichen weit gehenden Zollabbaus und der durch die französische Kriegsentschädigung ausgelösten Geldschwemme den eigentlichen Durchbruch der industriellen Revolution in Deutschland begleitete. Die rege Bautätigkeit, die sich auch in den 1890er-Jahren fortsetzte, ist dem Historismus verpflichtet.

Topografische Mitte: Ort mit maximaler Erreichbarkeit

Horst[2]: Geologie: gehobener oder infolge Absinkens der Umgebung stehen gebliebener, meist von 

parallelen Verwerfungen begrenzter Teil der Erdkruste; oft auch oberflächlich als Erhebung ausgebildet.

Giebelständige Bauweise: Bauweise, bei welcher sich der Giebel an der Straßenseite befindet, der Giebel zur Straße steht; ist typisch für eine mitteleuropäisch gewachsene Stadt, aufgrund des Platzmangels; Gegenteil ist traufenständige Bauweise

Traufenständige Bauweise: Bauweise, bei welcher sich die Traufe an der Straßenseite befindet; Gegenteil: Giebelständig

Mitteleuropäische gewachsene Stadt: Merkmale sind: radiales Straßensystem, giebelständige Bauweise, es gibt viele kleine verwinkelte Straßen und Gassen; die Häuser sind schmal, hoch und eng gebaut; Grund: Platzmangel und hohe Grundstückspreise

Flussterrasse:  Entstehung durch Gesteins und Sedimentablagerungen, meist aus der Eiszeit auf einer oder beiden Seiten des Flusses. Die erhöhte Lage ist ein Indiz dafür, dass der Fluss einmal einen höheren Pegel hatte. Flussterrassen waren beliebte Siedlungsorte, da diese sowohl Schutz vor Überschwemmungen boten, aber zugleich durch die Nähe zum Fluss eine stetige Wasserversorgung garantierten.

Schwemmkegel: Akkumulationsbereich (Ablagerungsbereich) eines Flusses, in dem das Gefälle abnimmt und sich aufgrund der verringernden Fließgeschwindigkeit Gestein und Sedimente ablagern. Beispiel: Übergang Gebirge/Ebene

Mäander[3]: Bezeichnung für eine Flussschlinge in einer Abfolge von solchen, wie sie sich in Abschnitten mit geringem Sohlgefälle und gleichzeitig transportiertem Geschiebe (Sand, Kies, Steine) bildet. Eine isolierte Flussschlinge im Flusslauf wird dagegen nicht als Mäander bezeichnet.

Furt: Steiniger, flacher Abschnitt eines Flusses, der mit Fahrzeigen durchquert werden kann. Früher anstatt von Brücken benutz um Flüsse zu überqueren, weshalb zunächst Straßen dorther verliefen und später Städte gegründet wurden.

Primärer Sektor: Landwirtschaft

Sekundärer Sektor: Industrie, produzierendes Handwerk

Tertiärer Sektor: Handel, Bankenwesen, Dienstleister

Anthropogen: durch den Menschen verursacht, beeinflusst

Physiognomische Merkmale: den Aufriss eines Gebäudes betreffend

Neuzeitliche Wohngebiete: Nachkriegszeit: a) Vorstädte b) Reihenhaussiedlungen c) Großwohnsiedlungen  

Daseinsgrundfunktionen: Aufteilung der Grundbedürfnisse des Menschen in die Bereiche:

-       In Gemeinschaft leben

-       Wohnen

-       Arbeiten

-       Sich versorgen

-       Sich bilden

-       Sich erholen

-       Am Verkehr teilnehmen

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[1] Quelle: Brockhaus multimedial 2007 Stichwort Gründerjahre

[2] Quelle: Brockhaus multimedial 2007 Stichwort Horst

[3] Quelle: Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Flussm%C3%A4ander

Lessing, der Aufklärer - PowerPoint / Referat

Hallo ihr da draußen,

nachfolgend findet ihr die Folien zu meinem Referat: "Lessing, der Aufklärer", welches ich im letzten Jahr vor dem Abitur gehalten habe.

Mein Lehrer war ganz gut zufrieden, die Note habe ich leider nicht mehr im Kopf.

Bitte beachtet, dass die Punkte auf den Folien natürlich mündlich ausgeführt werden und lediglich Anhaltspunkte für den Redefluss darstellen. Falls ihr auch ein Referat über Lessing halten müsst, dürft ihr euch gern an meinen Ideen zur Gliederung oder zum Aufzug der Power-Point-Präsentation bedienen. Ich habe zur Ringparabel ein Video gezeigt, welches auf YouTube leider nicht mehr verfügbar ist. In diesem Video war ein Ausschnitt aus einer Theateraufführung gezeigt, was dem Lehrer wie mir schien, ganz gut gefallen hatte.

Das magnetische Feld