Übungen zur Kreisberechnung [mit Lösungen]

Für dieser Aufgaben solltest du die Grundlagen der Kreisberechnung kennen. Falls du bei diesem Thema noch Nachholbedarf hast, lies dir zuerst meinen Artikel zur Kreisberechnung durch oder schau in deinem Mathebuch nach.

Aufgabe 1

Ein kreisförmiger Swimming-Pool hat den Radius r=4 m. Wie groß muss eine Folie sein, die die Wasseroberfläche verdecken soll? Gib Fläche und Umfang an!

Aufgabe 2

Ein Mathematiker möchte herausfinden, ob die Grundfläche einer Cola-Dose ein Kreis sein kann. Dazu misst er Umfang und Durchmesser. Er misst für den Umfang 19 cm und für den Durchmesser 6 cm. Tipp: berechne hier die Kreiszahl Pi und vergleiche den errechneten Wert mit dem Literaturwert von Pi.

sieh dir die Lösung erst an, wenn du die Aufgaben selbst gerechnet hast.

Lösung zu Aufgabe 1

gegeben:
Radius r=4m
Für den Kreis sind die Formeln
A=πr^2
und
u=2πr
wir berechnen zunächst die Fläche, dafür setzen wir den Radius r in die erste Formel ein
A=π * (4m)^2 = π * 16 m^2 = 50,26 m^2

um jetzt noch den Umfang zu berechnen setzen wir den Radius r in die zweite Formel ein
u=2π * 4m = 25,13 m

Der betrachtete Swimmingpool muss mit einer kreisförmigen Folie der Fläche 50,26 m^2 und dem Umfang 25,13 m abgedeckt werden.

Lösung zu Aufgabe 2

Für einen Kreis gilt
u=2π*r
In dieser Formel ersetzen wir den Radius durch den  halben Durchmesser: d/2 und erhalten damit:
u=2π*(d/2)
Umfang und Durchmesser ist bekannt. Für einen Beweis muss nun Pi mit diesen Werten ausgerechnet werden.Dazu stellen wir die Formel zunächst zu Pi um:
π=u/d (dabei haben ich die beiden Zweien schon gekürzt)
π=19 cm / 6 cm
π= 3,166
Berücksichtigt man kleine Fehler bei den Messungen, so kann man sagen, dass es sich bei den Verwendeten Dose um eine Kreisförmige Grundfläche handelt.

Kreisberechnung

Wenn ihr den Artikel zum ersten Mal lest, dann lasst “Auf Mathematisch” einfach weg. Versucht erst mal den Rest zu verstehen.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den Abstand r zum Mittelpunkt M haben.

Ein Kreis kann mathematisch mit den folgenden Größen beschrieben werden:

- r ->Radius

- d -> Durchmesser

- u -> Umfang

- A -> Fläche

- M -> Mittelpunkt

im Einzelnen erkläre ich die Größen:

- Radius: das ist die rote Strecke im Bild oben. Der Radius ist der Abstand den die schwarze Linie vom Punkt in der Mitte hat. Auf Mathematisch: Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und jedem anderen Punkt des Kreises

- Durchmesser: wenn ihr in Gedanken die rote Linie im Kreis weiterzeichnet, dann bekommt ihr den Durchmesser. Der Durchmesser ist also der doppelte Radius. Auf Mathematisch: d=2*r

- Umfang : Wenn ihr ein Maßband um den Kreis legt, dann erhaltet ihr den Umfang.

- Fläche: Wenn ihr einen Kreis aus Papier ausschneidet, denn habt ihr Papier in Form eines Kreises. Die Fläche kann man sich so vorstellen.

- Mittelpunkt:  Im Bild ist das der blaue Punkt in der Mitte. Der Mittelpunkt hat von allen Punkten des Kreises den selben Abstand (-> Radius)

Um die verschiedenen Größen des Kreises berechnen zu können kommt man auf verschiedene Abhängigkeiten (auf Mathematisch: Proportionalitäten), die wie folgt aufgeschrieben werden:

r ~ A

d ~ A

r ~ u

d ~ u

Die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor.

Durch verschiedene Herleitungen kommt man zur Kreiszahl (hier der Proportionalitätsfaktor) π = 3,14159265…

π findet sich in der Formel für Fläche und Umfang:

$A=\pi \cdot r^2$

$u=2\pi \cdot r=\pi \cdot d$

Beispiel: Ein Kreis mit dem Radius $r = 5 m$

$A = \pi * (5 m) ^2 = \pi * 25 m^2 = 78,539 m^2$

$u = 2 \cdot 5 m \cdot \pi = 31,415 m$

$d = 2\cdot 5m = 10 m$