Integral - Übung mit Lösung

Berechnen Sie zu den folgenden Funktionen eine Stammfunktion. Schreibe stets die Integrationskonstante mit auf.

a)$f(x)=1$

b)$f(x)=x$

c) $f(x)=\frac{1}{a}x$

d) $f(x)=x+1$

e) $f(x)=e^x$

f) $f(x)=e^{2x}$

g) $f(x)=e^{2x+1}$

h) $f(x)=e^{2x}+1$

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LÖSUNG
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a) $\int 1 \; dx = x +c$

b) $\int x \; dx = \frac{1}{2} x^2 + c$

c) $\int \frac{1}{a}x \; dx = \frac{1}{a}

\int x \; dx = \frac{1}{a} \frac{1}{2} x^2 + c= \frac{x^2}{2a} + c$

d) $\int x+1 \; dx = \frac{1}{2}x^2 + x + c$

e) $\int e^x \; dx = e^x +c$

f) $\int e^{2x} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x} +c$

g) $\int e^{2x+1} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1}+c$

h) $\int e^{2x}+1 \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + x + c $

Kurvendiskussion mit Lösung (MATHE ABI)

Wir möchten im Folgenden beispielhaft für eine Funktion eine Kurvendiskussion durchführen. Sei die Funktionsgleichung gegeben: \begin{equation} f(x)=(2-x)e^x \end{equation} Wir bestimmen zunächst die Ableitungen: Mit Produktregel finden wir \begin{align*} f'(x) &=(2-x)' \cdot e^x + (2-x) \cdot (e^x)'\\ & =(-1) \cdot e^x + (2-x) \cdot e^x\\ &=(2-x-1) \cdot e^x\\ &=(1-x) \cdot e^x \end{align*} Nochmals ableiten gibt die zweite Ableitung \begin{align*} f''(x)&=e^x \cdot (1-x) + e^x \cdot (-1) \\ &=(1-x-1)\cdot e^x\\ &=-xe^x \end{align*} Nochmals ableiten gibt die dritte Ableitung. \begin{align*} f'''(x)&= (-1)\cdot e^x + (-x)\cdot e^x \\ &= (-x-1) e^x \end{align*} \textbf{Nullstellen} \begin{align*} f(x)=0 \Rightarrow (2-x)\cdot e^x = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x=2 \end{align*} Die Funktion hat also eine Nullstelle bei $x_0 = 2$ \textbf{Lokale Extrema} Ansatz: $f'(x)=0$\\ Rechnung: \begin{align*} &f'(x) = (1-x) \cdot e^x = 0\\ \Rightarrow & 1-x=0 \Leftrightarrow x = 1 \end{align*} Hinreichendes Kriterium prüfen:

\begin{align*} f''(x=1) = -1e^1 = -e \end{align*}

Beispiel Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion

Binomische Formeln...eine Übersicht

Erste Binomische Formel
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

Zweite Binomische Formel
$(a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2$

Dritte Binomische Formel
$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

Integrale - die Idee

Die Idee der Intragtion ist eigentlich relativ einfach. Eigentlich gibt es zwei Ideen aber wir möchten zunächst diesen Einstieg zur Integration wählen:

(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, falls gilt:

$\frac{dF}{dx} = f(x)$

Dann heißt F Stammfunktion zu f.

Wie wir bereits von den Ableitungsregeln her wissen, fallen konstante Summanden beim Ableiten weg, also ist die Stammfunktion F nur bis auf eine Konstante bestimmt.

(Intgrationskonstante)
Ist F eine Stammfunktion zu f, dann ist auch F+c eine Stammfunktion zu f.