Logarithmen

$x,b,u \in \mathbb{R}$

Der Logarithmus zu beliebiger Basis b ist definiert als
$\log_b = u \Leftrightarrow b^u = x$

Dann gelten folgende Beziehungen.
$x, y \in \mathbb{R}$ und $n\in \mathbb{N}$

$\log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y)$

$\log(\frac{x}{y}) = \log(x) - \log(y)$

$\log(x^n) = n \cdot \log(x)$.

Die Beweis für die jeweiligen Formeln finden sich in der entsprechenden Literatur.

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Geraden in einem Koordinatensystem. Sie haben als Funktionsgleichung die Form $ \begin{equation} f(x)=m*x+b \end{equation} $ Dabei sind $m \rightarrow$ Steigung und $b \rightarrow$ Y-Achsenabschnitt.

Steigung

Es gilt die Formel $ \begin{equation} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \end{equation} $ So kann aus zwei Punkten die Steigung der Geraden bestimmt werden, die durch diese Punkte verläuft. Hinweis: Manchmal wird die Differenz im Bruch auch anders herum aufgeschrieben. Dies macht jedoch keinen Unterschied

Y-Achsenabschnitt

Ansatz: $x=0$. Bei linearen Funktionen ist die Lösung dieses Ansatzes immer $f(0)=b$

Nullstelle / X-Achsenabschnitt

Ansatz: $f(x)=0$. Diese Gleichung ist dann nach x aufzulösen. Dieses x ist dann die Nullstelle.

Pi-raterie im Gesetz

Im Bundesstaat Indiana, USA ist der Wert von $\pi$ per Gesetzt festgelegt.
$\pi = 4$. Etwas anderes zu behaupten ist eine Straftat.

Fachbegriffe der Vektorrechnung

Im folgenden seien $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vektoren des dreidimensionalen Raumes. Es gilt also
$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ sowie $k$ ein Skalar, also $k \in \mathbb{R}$.

Kommutativität und Assoziativität
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

Skalare Multiplikation
Möchte man $k \vec{a}$ berechnen, so muss $k$ zu jeder Komponente des Vektors $\vec{a}$
multipliziert werden.

$ k \vec{a} = \begin{pmatrix} k a_x\\ k a_y \\ k a_z \end{pmatrix}$

Skalarprodukt
Multipliziert man zwei Vektoren skalar miteinander, so sind die beiden Definitionen für das Skalarprodukt äquivalent:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos(\varphi}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} =  \sum_{i=1}^{3} a_i b_i $

Orthogonalität
Stehen zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander, so gilt
$\vec{a} \bot \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Kreuzprodukt 


$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$

Parallelität
Stehen zwei Vektoren parallel zueinander, so ist das Kreuzprodukt Null.

Potenzgesetze

Dieser Post ist der erste einer Reihe: "ganz elementare Mathematik".
Ich möchte mit einigen wenigen Posts die Grundpfeiler der Mathematik aufzeigen, also Gesetzte und Rechentricks die immer wieder auftauchen. Diese Reihe kann zusammengenommen vielleicht als universelle Formelsammlung dienen. Mal schauen.

Seien $a, b \in \mathbb{R}$ und $n, k\in\mathbb{N}$. Dann gilt.

1) $ (a*b)^n = a^n * b^n $

2) $ a^k * a^n = a^{k+n} $

3) $(a^n)^k = a^{n*k}$

4) $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

Bergsteiger (Textaufgabe)

Die Lageenergie steigt proportional mit der Höhe. Es gilt

$ E = mgh$

Ein Bergsteiger verbrennt circa $20\%$ der Lageenergie, die er aufbringen muss, um den Berg zu besteigen, aus Fettgewebe. Ein Arzt möchte, dass sein übergewichtiger Patient Fettgewebe, das einer Energie $1000 J$ verbrennt. Wie hoch muss der Patient steigen, damit er genügend Fett verbrennt?

Übung: Einfache Textaufgaben

Übung macht den Meister. Für Schülerinnen und Schüler der Klassen 5-8.
Manchmal kann es auch später noch helfen sich auf die Grundlagen und einfachen Sachen zu besinnen und sich dann langsam hochzuarbeiten.

1 Schüler
Wären in einer Klasse 5 Schüler mehr, so wären die Hälfte 20 Schüler. Wie viele Schüler
sind es?


2 Wursttheke
100 g Wurst kosten 84 Cent. Was bezahlt man für 250 g?


3 Socken
8 Paar Socken kosten 24 Euro. Wie viel kosten 40 Paar? Wie viel kostet eine einzelne
Socke?



4 Geldscheine
Ein 50 Euro Schein wird so in 10 Euro und 5 Euro Scheine gewechselt, dass die Anzahl
der kleineren Scheine x dreimal so groÿ ist wie die Anzahl der größeren Scheine y. Wie
viele Scheine sind es?
Beantworte zunächst folgende Fragen:
Was ist x?
Was ist y?
welcher Gleichung genügen x und y?



5 Aquarium
Ein quaderförmiges Aquarium hat die Bodenmaße 8 dm mal 4,5 dm mal 60 cm. Wie viel
Liter Wasser passen in das Aquarium?
Beantworte zunächst die folgenden Fragen
Wie werden Zentimeter und Dezimeter umgerechnet?
Wie berechnet man das Volumen eins Quaders?
Wie wird ein Liter in andere Volumeneinheiten umgerechnet?


6 Zahlenspiele
a)
Subtrahiert man vom fünffachen einer Zahl 17, so erhält man die Summe aus 75 und
dieser Zahl.
b)
Addiert man zur Hälfte einer Zahl das Produkt aus 7 und 8, so erhält man 7 weniger
als das fün ache dieser Zahl.